Добротность и полоса пропускания резонансной цепи

Добротность (Q) резонансной цепи характеризует ее качество. Более высокое значение этого показателя соответствует более узкой полосе пропускания (что весьма желательно для многих схем). Если говорить проще, то добротность представляет собой отношение энергии, накопленной в реактивном сопротивлении цепи, к энергии, рассеиваемой активным сопротивлением этой цепи:

Данная формула применима к последовательным резонансным цепям, а также к параллельным резонансным цепям, если сопротивление в них включено последовательно с катушкой индуктивности. Действительно, в практических схемах нас часто беспокоит сопротивление катушки индуктивности, которое ограничивает добротность. Заметьте: Некоторые учебники в формуле "Q" для параллельных резонансных схем меняют местами X и R. Это верно для большого значения R, включенного параллельно с C и L. Наша формула верна для небольшого значения R, включенного последовательно с L.

Практическое применение добротности (Q) заключается в том, что напряжение на L или С в последовательной резонансной цепи в Q раз больше общего приложенного напряжения. В параллельной резонансной цепи ток через L или С в Q раз больше общего приложенного тока.

Последовательные резонансные цепи.

Резонанс последовательной LC цепи выражается в том, что полный импеданс этой цепи становится наименьшим и равным активному сопротивлению  (которое имеет сравнительно небольшую величину), а ток становится максимальным. Условием резонанса является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений X_L = X_C. Когда частота генератора больше частоты контура, индуктивное сопротивление преобладает над емкостным и контур представляет для генератора сопротивление индуктивного характера. Если частота генератора меньше частоты контура, то емкостное сопротивление больше индуктивного и контур для генератора является сопротивлением емкостного характера.

Ток при резонансе имеет максимальное значение, а импеданс - минимальное. Величина тока определяется величиной сопротивления. На частоте, выше или ниже резонансной, импеданс увеличивается.

Пиковое значение тока при резонансе можно изменить путем подбора величины последовательного резистора, которая, в свою очередь, изменяет добротность. Все эти значения оказывают влияние на ширину полосы пропускания. Контур с низким сопротивлением и высокой добротностью имеет более узкую полосу пропускания, чем контур с высоким сопротивлением и низкой добротностью. Зависимость полосы пропускания контура от его резонансной частоты и добротности определяется следующей простой формулой:

Ширина полосы пропускания обычно определяется на уровне 0,707 от максимальной амплитуды тока. Уровню 0,707 соответствуют точки половинной мощности, равные P = I²R, (0,707)² = (0,5)

           Ппр = Δf = fв-fн = fc/Q 
           Где: fв = верхняя граница полосы пропускания,  
                   fн = нижняя граница полосы пропускания 
 
           fн = fc - Δf/2 
           fв = fc + Δf/2
           Где:  fc = резонансная частота

На представленном выше графике 100% тока - это 50мА. Уровню 70,7% соответствует величина тока 0,707(50мА) = 35,4 мА. Верхняя и нижняя границы полосы пропускания составляют 355 и 291 Гц соответственно. Ширина полосы пропускания равна 64 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 32 Гц от центра резонансной частоты:

           Ппр = Δf = fв-fн = 355-291 = 64 
           fн = fc - Δf/2 = 323-32 = 291 
           fв = fc + Δf/2 = 323+32 = 355 

Поскольку П_пр = f_c/Q:

           Q = fc/Ппр = (323 Гц)/(64 Гц) = 5

Параллельные резонансные цепи

Резонанс параллельной LC цепи выражается в том, что полный импеданс этой цепи (между точками разветвления) становится максимальным, а ток принимает минимальное значение. Условием резонанса, как и в последовательной LC цепи,  является равенство индуктивного и емкостного сопротивлений X_L = X_C. Когда частота генератора больше частоты контура, емкостное сопротивление преобладает над индуктивным и контур представляет для генератора сопротивление емкостного характера. Если частота генератора меньше частоты контура, то индуктивное сопротивление больше емкостного и контур для генератора является сопротивлением индуктивного характера.

Импеданс при резонансе имеет максимальное значение, но на частотах, выше или ниже резонансной, он уменьшается. Поскольку напряжение пропорционально импедансу (U = IZ), при резонансе оно также имеет максимальное значение.

Низкая добротность (Q), обусловленная высоким сопротивлением (последовательно с катушкой индуктивности), производит низкий пик с широкой полосой пропускания. И наоборот, высокая добротность, обусловленная низким сопротивлением, производит высокий пик с узкой полосой пропускания. Высокая добротность достигается применением катушек индуктивности имеющих большой диаметр и малое сопротивление провода.

Ширина полосы пропускания кривой параллельного резонанса измеряется между точками половинной мощности. Поскольку мощность пропорциональна U², этим точкам соответствует уровень 70,7% от максимальной амплитуды напряжения ((0,707)² = 0,5). Так как напряжение пропорционально импедансу, мы можем воспользоваться графиком импеданса.

На представленном выше графике 100% сопротивления - это 500 Ом. Уровню 70,7% соответствует величина сопротивления 0,707(500) = 354 Ом. Верхняя и нижняя границы полосы пропускания составляют 343 и 281 Гц соответственно. Ширина полосы пропускания равна 62 Гц, а точки половинной мощности составляют ± 31 Гц от центра резонансной частоты:

           Ппр = Δf = fв-fн  = 343-281 = 62 
           fн = fc - Δf/2 = 312-31 = 281 
           fв = fc + Δf/2 = 312+31 = 343 

           Q = fc/Ппр = (312 Гц)/(62 Гц) = 5